Les mathématiques et la Terre : une longue histoire
Depuis plusieurs siècles, de grands mathématiciens s’intéressent à la Planète. P. de Fermat étudia le poids de la Terre, C.F. Gauss contribua au développement du géomagnétisme et A. Tikhonov développa des techniques de régularisation couramment utilisées aujourd’hui en géophysique. Ne pas oublier non plus les travaux d’H. Poincaré pour la mécanique céleste et ceux de L. Euler, J. L. R. D’Alembert, H. Navier et G. Coriolis qui ont abouti aux équations de Navier-Stokes avec le terme de Coriolis, éléments centraux des simulations en météo. L’histoire de cette équation est dépeinte avec humour et impertinence par une B.D., L’équation du millénaire, que la FMSP diffuse gratuitement sur le net. Nous décrivons ici trois autres exemples. Sachez que l'initiative Un jour, une brève est beaucoup plus exhaustive (voir Pour aller plus loin).
Vivant : Les rayures du zèbre ou les polygones de la girafe sont parmi les manifestations morphogénétiques les plus spectaculaires. En 1952, le fondateur de l’informatique A. Turing propose un système de deux équations de réaction-diffusion mimant ces structures. Puis R. Thom est le premier à définir mathématiquement la morphogenèse. Plus récemment, les problèmes d’invasion en milieu hétérogène (périodique, aléatoire), et les interactions non locales (compétition entre individus de différents traits génétiques) amènent à étudier des équations intégro-différentielles aux comportements parfois très complexes avec de multiples états stationnaires.
Couches limites : Les méthodes de couches limites, initiées par L. Prandtl en 1904, décomposent le champ de vitesse d’écoulement en une partie intérieure et une partie proche des bords. Cette approche est reprise par les océanographes V.W. Ekman et W. Munk sur des modèles géophysiques très simplifiés. Vient ensuite le développement de méthodes mathématiques de perturbations singulières après l’année 1950, date de la publication de K.O. Friedrichs. La littérature est foisonnante : P.A. Lagerstrom, J.D. Cole, M. Van Dyke, W. Eckhaus et J.-L. Lions. D’importants résultats en lien avec la dégénérescence de couches limites ont encore été publiés récemment.
Transport optimal : La théorie du transport optimal est développée par G. Monge au XVIIIe siècle pour déplacer à moindre coût un tas de sable. Cette théorie sera ensuite reprise en 1940 par un mathématicien L. Kantorovich, pour des problèmes d’allocation optimale de ressources. D’autres mathématiciens réussissent enfin à résoudre le problème, dans le cas d’un nombre infini de grains de sables, en passant au continu. Puis, un peu plus tard, le transport optimal est utilisé comme outil puissant de démonstration en EDPs, géométrie et probabilité. Les travaux de Y. Brenier, C. Villani et al. en sont un parfait exemple.
